Das Übungsbuch Analysis I bietet eine umfassende Sammlung von fast 500 Teilaufgaben, die speziell entwickelt wurden, um Studierende bei der Bearbeitung von Übungsaufgaben in der Analysis, der Nachbereitung des Vorlesungsstoffs und der Prüfungsvorbereitung zu unterstützen.
Das Buch gliedert sich in vier Teile:
- Übungsaufgaben
- Lösungshinweise
- Musterlösungen
- Übungsklausuren
Das Konzept des Buches ist wie folgt: Stellen Sie sich vor, Sie besuchen eine Vorlesung zur Analysis I, in der das Thema Konvergenz von Reihen behandelt wird, oder Sie müssen ein Übungsblatt zu diesem Thema abgeben. Um Ihr Wissen zu vertiefen und die Prüfung auf Konvergenz zu üben, entscheiden Sie sich für Aufgabe 57 (a) aus dem Übungsbuch. Diese lautet:
Aufgabe 57. Untersuchen Sie die Reihe $$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n$$ auf Konvergenz.
Zunächst schlagen Sie alle Konvergenzkriterien aus der Vorlesung nach, sind aber unsicher, welches Sie verwenden sollten. Nun werfen Sie einen Blick in den Lösungshinweis zu Aufgabe 57, der besagt:
Lösungshinweis Aufgabe 57. Die Reihe konvergiert gemäß dem Wurzel– oder Quotientenkriterium. Setzen Sie dazu \(x_n = (1/7)^n\) für \(n \in \mathbb{N}_0\) und überlegen Sie sich \(\sqrt[n]{|x_n|} = 1/7\) und \(|x_{n+1} / x_n| = 1/7\).
Mit diesem Hinweis können Sie die Aufgabe lösen. Sollten Sie jedoch noch Zweifel haben, können Sie Ihre Lösung mit der Musterlösung im Buch vergleichen. Dort steht:
Lösung Aufgabe 57. Die Reihe konvergiert gemäß dem Wurzel- oder Quotientenkriterium. Wir setzen dazu \(x_n = (1/7)^n\) für \(n \in \mathbb{N}_0\). Offensichtlich gilt \(\sqrt[n]{|x_n|} = 1/7\), womit wir $$\limsup_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|x_n|} = \limsup_{n \to + \infty} \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$$ erhalten. Wegen \(\limsup_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|x_n|} < 1\) konvergiert die Reihe gemäß dem Wurzelkriterium. Alternativ folgt wegen \(|x_{n+1} / x_n| = 1/7\) direkt $$\limsup_{n \to + \infty} \left| \frac{x_{n+1}}{x_n} \right| = \limsup_{n \to + \infty} \frac{1}{7} = \frac{1}{7}.$$ Daher konvergiert die Reihe auch gemäß dem Quotientenkriterium.
Durch den Vergleich können Sie sicherstellen, dass Ihre Lösung korrekt ist, und gegebenenfalls Anpassungen vornehmen.
Für die Vorbereitung auf schriftliche Klausuren bietet das Buch zahlreiche Übungsmöglichkeiten. Da an vielen Universitäten Altklausuren oft ohne Lösungen zur Verfügung stehen, enthält dieses Übungsbuch zusätzlich fünf Übungsklausuren mit Lösungen. Diese Klausuren variieren in Thematik und Umfang, sodass Sie die für Ihre Vorbereitung passende Klausur auswählen können. Beispielsweise gibt es eine Klausur mit einer Bearbeitungszeit von 120 Minuten, bei der keine Hilfsmittel wie programmierbare Taschenrechner erlaubt sind und maximal 55 Punkte erreicht werden können. Eine typische Klausuraufgabe könnte folgendermaßen lauten:
Aufgabe 1 (8 Punkte). Sei \(x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\) beliebig. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle \(n \in \mathbb{N}\) die folgende Identität: $$\sum_{\nu = 0}^n \nu x^{\nu – 1} = \frac{1 – x^{n+1}}{(1-x)^2} – \frac{(n+1)x^n}{1-x}.$$
Nach der Bearbeitung der gesamten Klausur können Sie Ihre Lösungen mit den Musterlösungen im Buch vergleichen. Diese enthalten zudem detaillierte Informationen zur Punktevergabe für einzelne Lösungsschritte, sodass Sie auch bei einer nur teilweisen Lösung einer Aufgabe eine gute Einschätzung erhalten, wie viele Punkte Sie in einer echten Klausur erzielt hätten.