Publikationen von Dr. Niklas Hebestreit

Im Zeitraum 2018-2020 habe ich mich vermehrt mit sogenannten Vektor-Variationsungleichungen beschäftigt, die in ihrer einfachsten Form von folgender Gestalt sind: Finde ein Element $x \in C$ derart, dass $$\langle A(x),y-x\rangle \notin -\text{int}(K)$$ für alle $y \in C$ gilt. Hier sind $X,Y$ zwei Banachräume, $C \subseteq X$ eine nichtleere Teilmenge, $K\subseteq Y$ ein Kegel mit nichtleerem Inneren und $A:X\to \text{L}(X,Y)$ eine Abbildung. Diese weist jedem Element aus $X$ eine lineare und beschränkte Abbildung $A(x):X \to Y$ zu. Im Fall $Y=\mathbb{R}$ vereinfacht sich die obige Vektor-Variationsungleichung zu einer klassischen Variationsungleichung, die schon ausgiebig in der Literatur studiert wurde.

Unter gewissen Bedingungen erlaubt die obige Vektor-Variationsungleichung eine hübsche geometrische Interpretation. Seien dazu $C$ eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge des $\mathbb{R}^2$ sowie $a^1\in C$ und $a^2 \notin C$ zwei beliebige Punkte. Wir wollen $x \in C$ mit $$\left( \langle x- a^1, y-x\rangle, \langle x- a^2, y-x\rangle\right) \notin \, – \text{int}(\mathbb{R}_{\geq 0}^2)$$ für alle $y\in C$ finden. Dies ist äquivalent dazu, einen Punkt $x \in C$ so zu finden, dass der Abstand zwischen $x-a^1$ und $x-a^2$ gleichzeitig minimal wird. Hier wird Minimierung im Sinne davon verstanden, dass es unmöglich ist, den Abstand zu $a^1$ (bzw. $a^2$) zu verringern, ohne gleichzeitig den Abstand zu $a^2$ (bzw. $a^1$) zu vergrößern.

Die Untersuchung von Vektor-Variationsungleichungen führte zu folgenden Puplikationen: