Publikationen und Forschung
Während meiner Doktorarbeit habe ich mich mit sogenannten Vector Quasi-Variational Inequalities (VQVI) beschäftigt. Gesucht ist dabei ein Element \(x \in X\), das gleichzeitig \(x \in C(x)\) und $$\langle A(x),y-x\rangle \notin -\text{int}(K)$$ für alle \(y \in C(x)\) erfüllt. Ohne weiter ins Detail zu gehen, stellen sich beim Lösen einer VQVI zwei zentrale Herausforderungen:
- Fixpunktproblem: Man muss \(x \in C(x)\) garantieren, also einen Fixpunkt der mengenwertigen Abbildung \(C\) finden.
- Variationsungleichung: Dieser Fixpunkt soll zudem die obige Ungleichung für alle \(y \in C(x)\) erfüllen.
Die Theorie ist aber nicht nur abstrakt interessant, sondern auch praktisch nützlich. Ein Beispiel ist die Standortplanung: Wir möchten ein zentrales Medikamentenlager in Halle (Saale) bauen, das Krankenhäuser und Arztpraxen per Drohne beliefert. Gesucht ist ein Standort, der
- die Luftlinien-Distanzen zu den Einrichtungen \(a_1,\dotsc,a_8\) möglichst klein hält (für schnelle Notfalllieferungen) und gleichzeitig
- verbotsfreie Zonen respektiert — etwa Bauverbotsflächen (rot schraffiert) oder Flugverbotsgebiete (blau schraffiert).
Dieses Planungsproblem lässt sich als VQVI modellieren und lösen, was ich in meiner Dissertation gezeigt habe.
Weitere Anwendungen von VQVIs finden sich beispielsweise auch in der Tumorforschung. Dort geht es unter anderem darum, eine optimale Strahlungsintensität für betroffene Tumorzellen zu bestimmen, während das umliegende gesunde Gewebe gleichzeitig so wenig Strahlung wie möglich erhält.
Neben solchen Anwendungen habe ich mich auch mit Existenzresultaten, dualen und inversen Problemen sowie mit Algorithmen zur Berechnung von Lösungen von VQVIs beschäftigt. Die entsprechenden Arbeiten sind in den folgenden Publikationen zusammengefasst.