Übungs- und Lernbuch Maß- und Integrationstheorie

Die Maß- und Integrationstheorie hat unter Studierenden keinen guten Ruf, wie die folgenden Zitate zeigen.

Im Vorwort zu seinem Buch Wahrscheinlichkeitstheorie schreibt Prof. Dr. A. Klenke folgendes:

„Ich verspreche mir von diesem Vorgehen eine Auflockerung des maßtheoretischen Stoffes, der von manchen als etwas trocken empfunden wird.“

In einer Buchrezension des Buches Measure theory schreibt Prof. Dr. Paul-André Meyer folgendes:

„Many students are afraid of measure theory; in fact, it is often a turning point in their mathematical education […].“

Auf Matroids Matheplant schreibt jemand:

„Maßtheorie ordentlich zu machen, ist halt, vor allem anfangs, ziemlich trocken, man kommt aber nicht drumherum, wenn man ordentlich Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Analysis oder Funktionalanalysis machen möchte.“

„Ich beschäftige mich seit kurzem mit Maßtheorie und habe Schwierigkeiten […].“

Auf Reddit schreiben einige User folgendes über die Maß- und Integrationstheorie:

„You might underestimate the amount of people who dislike probability because of the measure theory.“

„I am a first year graduate student taking a course in Measure Theory and it’s eating me alive.“

„Measure theory is boring […]“

Mit meinem Übungs- und Lernbuch zur Maß- und Integrationstheorie möchte ich das schlechte Image der Maß- und Integrationstheorie retten. Es ist das erste deutschsprachige Übungsbuch, das sich ausschließlich diesem Gebiet widmet. Enthalten sind rund 180 Aufgaben, viele mit Teilaufgaben. Zu jeder Aufgabe gibt es einen hilfreichen Hinweis, der bei Bedarf den Einstieg in den Lösungsweg erleichtert. Die eigene Lösung lässt sich anschließend mit der ausführlich ausgearbeiteten Musterlösung im Buch vergleichen, dabei werden oft auch alternative Wege besprochen. Ziel des Buches ist ein fundierter Einstieg in die Maß- und Integrationstheorie. Der Schwerpunkt liegt auf dem Verständnis zentraler Begriffe, Definitionen, Resultate und Konzepte, die für Studierende der reinen und angewandten Mathematik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften wichtig sind. Darüber hinaus werden abstraktere Aspekte eingehend behandelt und durch zahlreiche Aufgaben vertieft. Das Buch versteht sich als Begleitwerk zu einer Vorlesung über Maß- und Integrationstheorie oder über Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik. Eine Besonderheit sind gezielte Anmerkungen, die zeigen, welche Konsequenzen oder Spezialfälle sich aus den Lösungen ergeben. Diese Hervorhebung innermathematischer Zusammenhänge hilft, die Resultate besser nachzuvollziehen und in einen größeren Kontext einzuordnen.

Im Übungsbuch können Sie eigenständig die folgenden zentralen Fragen der Maß- und Integrationstheorie beantworten, indem Sie die entsprechenden Übungsaufgaben lösen:

Kann man den Flächeninhalt oder das Volumen jeder Teilmenge von $\mathbb{R}^2$ beziehungsweise $\mathbb{R}^3$ messen?
In welchem Verhältnis stehen die Borelsche und Lebesguesche $\sigma$-Algebra? Gibt es Lebesgue-messbare Mengen, die nicht Borel-messbar sind?
Wie groß ist eine $\sigma$-Algebra? Was sind erzeugte $\sigma$-Algebren, Spur-$\sigma$-Algebren und Produkt-$\sigma$-Algebren? Welche nützlichen Eigenschaften besitzen diese $\sigma$-Algebren und wo werden diese genutzt?
Welche Funktionen und Abbildungen sind messbar? Welche Messbarkeitskriterien gibt es?
Wieso können Nullmengen bei der Integration vernachlässigt werden, obwohl sie andernfalls nicht übergangen werden dürfen?
Mit welchen Methoden und Tricks kann man Lebesgue-Integrale berechnen? Wie lauten die Sätze von Fubini und Tonelli, und der Transformationssatz, und wozu sind diese überhaupt gut?
Welche Unterschiede bestehen zwischen der Integrationstheorie von Riemann und der von Lebesgue? Welche Vorzüge bietet die Lebesguesche Theorie?

Die Übungsaufgaben sind dabei wie folgt thematisch gegliedert:

Grundlagen. Im ersten Abschnitt werden verschiedene Aufgaben zu Mengenlehre, Eigenschaften von Funktionen und Abbildungen sowie zu geordneten und metrischen Räumen behandelt. Ein zentraler Aspekt ist der Nachweis zahlreicher Eigenschaften und Konvergenzsätze für mengenwertige Folgen, die in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie eine entscheidende Rolle spielen. Ein besonderes Highlight dieses Abschnitts ist die Diskussion des von H. L. Lebesgue formulierten Maßproblems, dessen Unlösbarkeit G. Vitali im Jahr 1905 nachwies. Das Maßproblem in $\mathbb{R}$ fragt: Gibt es eine nichtnegative, $\sigma$-additive, translationsinvariante und normierte Maßfunktion $\mu : \mathfrak{P}(\mathbb{R}) \to \overline{\mathbb{R}}$?

Mengensysteme und messbare Abbildungen. Dieser Abschnitt beginnt mit der Einführung der wichtigsten Mengensysteme, darunter $\sigma$-Algebren und Dynkin-Systeme. Im Rahmen von Übungsaufgaben werden unter anderem $\sigma$-Algebren behandelt, einschließlich der Borelsche $\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}(\mathbb{R}^d)$ und der Lebesguesche $\sigma$-Algebra $\mathfrak{L}(\mathbb{R}^d)$. Der verbleibende Teil des Abschnitts widmet sich der Untersuchung von Produkt-$\sigma$-Algebren und messbaren Abbildungen, wobei zahlreiche Messbarkeitskriterien, Eigenschaften und Zusammenhänge nachgewiesen werden können.

Maße und Maßräume.In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften von Maßen, Inhalten, Prämaßen und äußeren Maßen behandelt. Zudem werden vollständige Maße und das Lebesgue-Maß untersucht. Es wird gezeigt, dass das Lebesgue-Maß $\lambda^d : \mathfrak{L}(\mathbb{R}^d) \to \overline{\mathbb{R}}$ die Vervollständigung des Borel-Lebesgue-Maßes $\beta^d : \mathfrak{B}(\mathbb{R}^d) \to \overline{\mathbb{R}}$ darstellet. Im abschließenden Teil dieses Abschnitts wird das Cantorschen Diskontinuum (Cantor-Menge) und die Existenz von Lebesgue-Mengen, die nicht Borel-messbar sind, thematisiert.

Lebesgue-Integral. Im Mittelpunkt dieses Abschnitts steht das Lebesgue-Integral ($\mu$-Integral) $$\int_X f \, \mathrm{d} \mu$$ über einem beliebigen Maßraum $(X, \mathfrak{A}, \mu)$. Es werden mehrere Eigenschaften und Spezialfälle untersucht und angewandt. Diese sind beispielsweise für die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik von großer Bedeutung. Neben den Anwendungen der beiden berühmten Konvergenzsätze, dem Satz von der monotonen Konvergenz (Satz von Beppo Levi) und dem Satz von der majorisierten Konvergenz (Satz von Lebesgue), werden auch die Zusammenhänge zwischen dem Riemann- und dem Lebesgue-Integral herausgearbeitet.

Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationssatz. Der erste Teil dieses Abschnitts widmet sich dem (endlichen) Produktmaß. Es wird beispielsweise gezeigt, dass das Produktmaß $\beta^d \otimes \beta^k$ von zwei Borel-Lebesgue-Maßen $\beta^d$ und $\beta^k$ wieder ein Borel-Lebesgue-Maß ist, und mit $\beta^{d+k}$ übereinstimmt. Darüber hinaus werden das Prinzip von Cavalieri sowie die Sätze von Fubini und Tonelli zur Berechnung von Integralen und zum Nachweis nützlicher Identitäten vorgestellt, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie von großer Bedeutung sind. Der abschließende Teil dieses Abschnitts behandelt den Transformationssatz und Koordinatentransformationen, die es ermöglichen, komplexe Integrale auf die Berechnung einfacherer Integrale zurückzuführen. Mit Hilfe desTransformationssatzes kann beispielsweise die bekannte Identität $$\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ bewiesen werden. Diese ist bekannt unter den Namen Basler Problem.

$\text{L}^p$-Räume und Konvergenzbegriffe. Der letzte Abschnitt befasst sich mit den beiden aus der Funktionalanalysis und Stochastik bekannten Funktionenräumen $\mathcal{L}^p(X, \mathfrak{A}, \mu)$ und $\text{L}^p(X, \mathfrak{A}, \mu)$. Es werden verschiedene Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie untersucht und die Sätze von Jegorow und Lusin verifiziert.