• Kann man den Flächeninhalt oder das Volumen jeder Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\) beziehungsweise \(\mathbb{R}^3\) messen?
• In welchem Verhältnis stehen die Borelsche und Lebesguesche \(\sigma\)-Algebra? Gibt es Lebesgue-messbare Mengen, die nicht Borel-messbar sind?
• Wie groß ist eine \(\sigma\)-Algebra? Was sind erzeugte \(\sigma\)-Algebren, Spur-\(\sigma\)-Algebren und Produkt-\(\sigma\)-Algebren? Welche nützlichen Eigenschaften besitzen diese \(\sigma\)-Algebren und wo werden diese genutzt?
• Welche Funktionen und Abbildungen sind messbar? Welche Messbarkeitskriterien gibt es?
• Wieso können Nullmengen bei der Integration vernachlässigt werden, obwohl sie andernfalls nicht übergangen werden dürfen?
• Mit welchen Methoden und Tricks kann man Lebesgue-Integrale berechnen? Wie lauten die Sätze von Fubini und Tonelli, und der Transformationssatz, und wozu sind diese überhaupt gut?
• Welche Unterschiede bestehen zwischen der Integrationstheorie von Riemann und der von Lebesgue? Welche Vorzüge bietet die Lebesguesche Theorie?

All diese Fragen und noch viele mehr können Sie sich mit Hilfe des Übungs- und Lernbuchs Maß- und Integrationstheorie selbständig beantworten. Dabei handelt es sich um das erste deutschsprachige Übungsbuch, das sich ausschließlich der Maß- und Integrationstheorie widmet. Es umfasst etwa 180 Aufgaben, die zahlreiche Teilaufgaben enthalten. Zu jeder Aufgabe gibt es einen hilfreichen Hinweis, der bei Bedarf genutzt werden kann, um den Lösungsweg zu finden. Die eigene Lösung kann anschließend mit der detailliert ausgearbeiteten Musterlösung im Buch verglichen werden, wobei auch alternative Lösungswege diskutiert werden.

Ziel des Buches ist es, den Leserinnen und Lesern einen fundierten Einstieg in die Maß- und Integrationstheorie zu bieten. Der Schwerpunkt liegt auf dem Verständnis grundlegender Begriffe, Definitionen, Resultate und Konzepte, die für Studierende der reinen und angewandten Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften unverzichtbar sind. Darüber hinaus werden auch abstraktere Konzepte der Maß- und Integrationstheorie eingehend beleuchtet und können durch zahlreiche Aufgaben vertieft werden.

Das Buch versteht sich als ein Begleitwerkzeug zu einer Vorlesung über die Maß- und Integrationstheorie oder Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik. Eine Besonderheit dieses Buches liegt darin, dass durch gezielte Anmerkungen aufgezeigt wird, welche Konsequenzen oder Spezialfälle sich aus den Lösungen der Aufgaben ergeben. Diese Hervorhebung der innermathematischen Zusammenhänge ermöglicht es den Leserinnen und Lesern, die Resultate besser nachzuvollziehen und in einen größeren Kontext einzuordnen.

Die Übungsaufgaben dieses Buches sind wie folgt thematisch eingeordnet:

• Grundlagen
  Im ersten Abschnitt werden verschiedene Aufgaben zu Mengenlehre, Eigenschaften von Funktionen und Abbildungen sowie zu geordneten und metrischen Räumen behandelt. Ein zentraler Aspekt ist der Nachweis zahlreicher Eigenschaften und Konvergenzsätze für mengenwertige Folgen, die in der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie eine entscheidende Rolle spielen. Ein besonderes Highlight dieses Abschnitts ist die Diskussion des von H. L. Lebesgue formulierten Maßproblems, dessen Unlösbarkeit G. Vitali im Jahr 1905 nachwies. Das Maßproblem in \(\mathbb{R}\) fragt: Gibt es eine nichtnegative, \(\sigma\)-additive, translationsinvariante und normierte Maßfunktion \(\mu : \mathfrak{P}(\mathbb{R}) \to \overline{\mathbb{R}}\)?
• Mengensysteme und messbare Abbildungen
  Dieser Abschnitt beginnt mit der Einführung der wichtigsten Mengensysteme, darunter \(\sigma\)-Algebren und Dynkin-Systeme. Im Rahmen von Übungsaufgaben werden unter anderem \(\sigma\)-Algebren behandelt, einschließlich der Borelsche \(\sigma\)-Algebra \(\mathfrak{B}(\mathbb{R}^d)\) und der Lebesguesche \(\sigma\)-Algebra \(\mathfrak{L}(\mathbb{R}^d)\). Der verbleibende Teil des Abschnitts widmet sich der Untersuchung von Produkt-\(\sigma\)-Algebren und messbaren Abbildungen, wobei zahlreiche Messbarkeitskriterien, Eigenschaften und Zusammenhänge nachgewiesen werden können.
• Maße und Maßräume
  In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften von Maßen, Inhalten, Prämaßen und äußeren Maßen behandelt. Zudem werden vollständige Maße und das Lebesgue-Maß untersucht. Es wird gezeigt, dass das Lebesgue-Maß \(\lambda^d : \mathfrak{L}(\mathbb{R}^d) \to \overline{\mathbb{R}}\) die Vervollständigung des Borel-Lebesgue-Maßes \(\beta^d : \mathfrak{B}(\mathbb{R}^d) \to \overline{\mathbb{R}}\) darstellet. Im abschließenden Teil dieses Abschnitts wird das Cantorschen Diskontinuum (Cantor-Menge) und die Existenz von Lebesgue-Mengen, die nicht Borel-messbar sind, thematisiert.
• Lebesgue-Integral
  Im Mittelpunkt dieses Abschnitts steht das Lebesgue-Integral (\(\mu\)-Integral) $$\int_X f \, \mathrm{d} \mu$$ über einem beliebigen Maßraum \((X, \mathfrak{A}, \mu)\). Es werden mehrere Eigenschaften und Spezialfälle untersucht und angewandt. Diese sind beispielsweise für die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik von großer Bedeutung. Neben den Anwendungen der beiden berühmten Konvergenzsätze, dem Satz von der monotonen Konvergenz (Satz von Beppo Levi) und dem Satz von der majorisierten Konvergenz (Satz von Lebesgue), werden auch die Zusammenhänge zwischen dem Riemann- und dem Lebesgue-Integral herausgearbeitet.
• Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationssatz
  Der erste Teil dieses Abschnitts widmet sich dem (endlichen) Produktmaß. Es wird beispielsweise gezeigt, dass das Produktmaß \(\beta^d \otimes \beta^k\) von zwei Borel-Lebesgue-Maßen \(\beta^d\) und \(\beta^k\) wieder ein Borel-Lebesgue-Maß ist, und mit \(\beta^{d+k}\) übereinstimmt. Darüber hinaus werden das Prinzip von Cavalieri sowie die Sätze von Fubini und Tonelli zur Berechnung von Integralen und zum Nachweis nützlicher Identitäten vorgestellt, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie von großer Bedeutung sind. Der abschließende Teil dieses Abschnitts behandelt den Transformationssatz und Koordinatentransformationen, die es ermöglichen, komplexe Integrale auf die Berechnung einfacherer Integrale zurückzuführen. Mit Hilfe desTransformationssatzes kann beispielsweise die bekannte Identität $$\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ bewiesen werden. Diese ist bekannt unter den Namen Basler Problem.
• \(\text{L}^p\)-Räume und Konvergenzbegriffe
  Der letzte Abschnitt befasst sich mit den beiden aus der Funktionalanalysis und Stochastik bekannten Funktionenräumen \(\mathcal{L}^p(X, \mathfrak{A}, \mu)\) und \(\text{L}^p(X, \mathfrak{A}, \mu)\). Es werden verschiedene Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie untersucht und die Sätze von Jegorow und Lusin verifiziert.